\documentclass{beamer}          % 使用 beamer 文档类
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\usetheme{Warsaw} % 选用该主题

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\setcounter{tocdepth}{1}

\title{Foundations of Stochastic Processes}
\author{高欣禹}
\date{2025 年 11 月 2 日}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \tableofcontents
\end{frame}

\begin{frame}
  \includegraphics[width=\textwidth]{fig/fig1}
\end{frame}

\section{简单随机游走}
\subsection{定义}
\begin{frame}{简单随机游走-定义}
  \scriptsize
  \par 模型基本要素:想象一个粒子(或称为“游走者”)在一维的直线上运动。
  它的运动不是连续的，而是在离散的时间点 $t_k = k_\tau$ 上发生跳跃，其中 $k= 1,2,3,...$是步数，
  $\tau$是每次跳跃的时间间隔。我们在任意时刻$t_k$观察到的粒子位置，记为$X_k$。
  \par ~
  \par 核心随机变量:步长$\xi_k$：每次跳跃的位移，即步长$\xi_k$，是一个随机变量。
  这个模型的关键假设是，所有的步长$\xi_k$都是\textbf{独立同分布(Independent and Identically Distributed, IID)}
  的随机变量。“同分布”意味着每次跳跃都遵循相同的概率规则；“独立”意味着任何一步的结果都不会影响其他任何一步。\\
  \par ~
  \par 离散步长：步长只能取有限个特定值。最简单的情况是，粒子每一步只能向右移动距离$a$或向左移动距离$a$。
  即$\xi_k\in{+a,-a}$。向右的概率为$p$，向左的概率为$q$，且$p+q=1$。这便是简单随机游走(Simple Random Walk)。
\end{frame}

\subsection{统计平均}
\begin{frame}{简单随机游走-统计平均}
  \begin{block}{重要结论}
    这里放置需要强调的结论或定理。
  \end{block}
\end{frame}

\appendix
% 结束页
\begin{frame}
  \centering \Huge 谢谢观看！
\end{frame}

\end{document}
